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2.4 Représentation d'un entier positif dans différentes bases⚓︎

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Hormis la base 10, deux bases sont utilisées en informatique :

  • la base 2 (le système binaire)
  • la base 16 (le système hexadécimal)

Dans toute la suite, la base dans laquelle le nombre est écrit sera précisée en indice.
Exemple : \(13_{10}=1101_2=\rm{D}_{16}\)

1. Le système binaire⚓︎

En base 2, on ne dispose que des chiffres 0 et 1. Le système binaire est un système de numération de position (comme le système décimal, hexadécimal... mais pas comme le système romain). À chaque rang correspond une puissance de 2.

1.1 Du binaire vers le décimal :⚓︎

... 128 64 32 16 8 4 2 1
... \(2^7\) \(2^6\) \(2^5\) \(2^4\) \(2^3\) \(2^2\) \(2^1\) \(2^0\)
... 1 1 0 1 0 0 1 0

\(11010010_2=1 \times 2^7+ 1 \times 2^6+0 \times 2^5+1 \times 2^4+0 \times 2^3+0 \times 2^2+1 \times 2^1+0 \times 2^0=128+64+32+2=210_{10}\)

Le nombre binaire 11010010 correspond donc au nombre décimal 210.

Code Python

En Python, on peut utiliser la fonction int("nombre", base). 

>>> int("11010010", 2)
210

1.2 Du décimal vers le binaire :⚓︎

Principe : dans chaque nombre décimal, il existe une plus grande puissance de 2 qui est inférieure au nombre.

Par exemple, dans 243, il y a 128. Donc
\(243=128 + (115)\)
\(243=128+64+(51)\)
\(243=128+64+32+(19)\)
\(243=128+64+32+16+(3)\)
\(243=128+64+32+16+2+1\)
\(243=1 \times 2^7+ 1 \times 2^6+1 \times 2^5+1 \times 2^4+0 \times 2^3+0 \times 2^2+1 \times 2^1+1 \times 2^0\)

Donc \(243_{10}=11110011_2\)

Méthode des divisions successives

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Code Python

En Python, on peut utiliser la fonction bin(nombre). Elle renvoie une chaîne de caractère où le nombre binaire est précédé de '0b'. 

>>> bin(243)
'0b11110011'

Exercice 1

Quelle est la valeur maximale d'un octet (un octet = 8 chiffres binaires) ?

\(11111111_2=255\). On retrouve ce nombre comme étant la valeur maximale d'une composante de couleur dans le codage RGB, ce qui signifie que chaque composante est codée sur un octet.

Exercice 2

Créer une fonction binaire(n) qui renvoie l'écriture binaire de n, en utilisant les divisions successives.

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
def restes_successifs(n):
    ''' renvoie la liste des restes successifs lors des divisions de n par 2'''
    restes = []
    while n != 0 :
        restes.append(n % 2)
        n = n // 2
    return restes

def binaire(n) :
    ''' recompose le mot binaire en mettant dans l'ordre les restes successifs'''
    liste = restes_successifs(n)
    liste.reverse() #permet d'inverser l'ordre des élément d'une liste
    mot = ""
    for k in liste :
        mot += str(k)
    return mot

2. Le système hexadécimal⚓︎

L'inconvénient essentiel du système binaire est la longueur de l'écriture des nombres qu'il génère. Pour cette raison, le système hexadécimal, ou système de base 16 est très souvent employé.

  • Pour écrire en base 2, il faut 2 chiffres différents : le 0 et le 1.

  • Pour écrire en base 10, il faut 10 chiffres différents: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

  • Pour écrire en base 16, il faut donc 16 chiffres différents : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

On a donc la correspondance :

  • A représente 10
  • B représente 11
  • C représente 12
  • D représente 13
  • E représente 14
  • F représente 15

2.1 De l'hexadécimal vers le décimal :⚓︎

256 16 1
\(16^2\) \(16^1\) \(16^0\)
1 D 2

\(\rm{1D2}_{16}=1 \times 16^2+ 13 \times 16^1+2 \times 16^0=256+208+2=466_{10}\)

Le nombre hexadécimal 1D2 correspond donc au nombre décimal 466.

En pratique, l'hexadécimal est surtout utilisé pour sa capacité à représenter la valeur de n'importe quel octet sur 2 chiffres ("chiffres" étant à prendre au sens large = chiffres ou lettres !).

Exercice 3

  1. Donner la valeur des octets FF, 3A, B2.
  2. Expliquer pourquoi la couleur RGB (138,255,51) a pour code html #8AFF33.
  3. Quelle est la couleur html du blanc ?
  1. FF = 255 ; 3A = 58 ; B2 = 178
  2. 138 a pour code hexa 8A, 255 a pour code hexa 255, 51 a pour code hexa 33.
  3. #FFFFFF

2.2 En python :⚓︎

2.2.1 Pour passer du décimal à l'hexadécimal :⚓︎

On peut utiliser la fonction hex(nombre). Elle renvoie une chaîne de caractère où le nombre hexadécimal est précédé de '0x'.

>>> hex(125)
'0x7d'

2.2.2 Pour passer de l'hexadécimal au décimal :⚓︎

On peut utiliser la fonction int("nombre",base).

>>> int("FF", 16)
 255

3. Du binaire inattendu⚓︎

Le message secret de Perseverance